Question

20．如图，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段MN与GH交于点K．若∠GKM=45°，NM=3$\sqrt{5}$，则GH=3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，于是得到AF=MN=3$\sqrt{5}$，AE=GH，由于∠GKM=45°，得到∠BAF+∠DAE=90°-45°=45°，作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，推出∠QAD+∠DAE=45°，通过△ABF≌△AQD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AQ}$，求得AQ=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，在Rt△ADQ中，由勾股定理得到DQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$，过点E作EP⊥AQ于P，得到△AEP是等腰直角三角形，设GH=AE=x，则AP=EP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后利用∠Q的正切值列出方程求解即可．

解答 解：如图，过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，
则AF=MN=3$\sqrt{5}$，AE=GH，
∵∠GKM=45°，
∴∠BAF+∠DAE=90°-45°=45°，
作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，
则∠QAD+∠DAE=45°，
∴∠QAD=∠FAB，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABF∽△AQD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AQ}$，
∴$\frac{6}{9}=\frac{3\sqrt{5}}{AQ}$，
∴AQ=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ADQ中，DQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$，
过点E作EP⊥AQ于P，
∵∠QAE=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
设GH=AE=x，则AP=EP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵tan∠Q=$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{PE}{PQ}$，
∴$\frac{9}{\frac{9}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{9\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x}$，
解得x=3$\sqrt{10}$，
所以GH=3$\sqrt{10}$．
故答案为：3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出相似三角形和等腰直角三角形是解题的关键．