Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上的一点，以OA为半径的⊙O经过点D．

(1)求证：BC是⊙O切线；

(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为OA＝OD，AD平分∠BAC， 　　所以∠ODA＝∠OAD，∠OAD＝∠CAD． 　　所以∠ODA＝∠CAD． 　　所以OD∥AC． 　　所以∠ODB＝∠C＝90°． 　　所以BC是⊙O的切线． 　　(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E． 　　所以∠AED＝∠C＝90°． 　　又因为AD＝AD，∠EAD＝∠CAD， 　　所以△AED≌△ACD． 　　所以AE＝AC，DE＝DC＝3． 　　在Rt△BED中，∠BED＝90°，由勾股定理，得 　　BE＝＝4． 　　设AC＝x(x＞0)，则AE＝x． 　　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝BD＋DC＝8，AB＝x＋4， 　　由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2． 　　解得x＝6． 　　即AC＝6．