Question

（2013•余姚市模拟）已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y₁=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），y₂=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0），且满足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k(k≠0，1)，则我们称抛物线y₁与y₂互为“友好抛物线”，请写出当k=-

1

2

时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）先把三个点的坐标代入y=ax²+bx+c（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值；
（2）根据题中的定义得到

-1

a2

=

2

b2

=

8

c2

=-

1

2

或

a1

-1

=

b1

2

=

c1

8

=-

1

2

，则可得到友好抛物线的解析式是：y=2x²-4x-16或y=

1

2

x²-x-4，然后分别配成顶点式，则可得到它们的顶点坐标．

解答：解：（1）根据题意，得

c=8 4a+2b+c=8 9a+3b+c=5

，解得

a=-1 b=2 c=8

，
所以这个抛物线的解析式是y=-x²+2x+8；
（2）根据题意，得

-1

a2

=

2

b2

=

8

c2

=-

1

2

或

a1

-1

=

b1

2

=

c1

8

=-

1

2

解得a₂=2，b₂=-4，c₂=-16或a₁=

1

2

，b₁=-1，c₁=-4，
所以友好抛物线的解析式是：y=2x²-4x-16或y=

1

2

x²-x-4，
因为y=2x²-4x-16=2（x-1）²-18，
所以抛物线y=2x²-4x-16的顶点坐标为（1，-18）；
因为y=

1

2

x²-x-4=

1

2

（x-1）²-

9

2

，
所以抛物线y=

1

2

x²-x-4的顶点坐标为（1，-

9

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式（一般式、顶点式或交点式），再列方程（组）、解方程（组），然后确定二次函数的解析式．也考查了二次函数的性质．