Question

【题目】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过 A 作弦 AB⊥OP，垂足为点 C，延长BO 与 PA 的延长线交于点 D

(1) 求证：PB 为⊙O 的切线

(2) 若 OB＝3，OD＝5，求 PB 的长

Answer 1

【答案】(1) 见详解；(2) PB=6.

【解析】

(1) 连接OA，根据垂径定理，得到PB=PA，可证明△PAO≌△PBO，因为PA 为⊙O 的切线，所以∠PBO=∠PAO=90°，题目得证；

(2)用勾股定理算出AD，由(1)中△PAO≌△PBO，得到PA=PB，设PB=x，△BDP为直角三角形，利用勾股定理列出等式，求解得出x，即为PB的长.

(1)证明：连接OA，

∵PA为⊙O的切线，

∴OA⊥PA

∴∠PAO=90°，

∵OA=OB，OP⊥AB于C，

∴PB=PA，

∴△PAO≌△PBO，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB为⊙O的切线；

(2)在直角三角形OAD中，

，

BD=OB+OD=8，

∵△PAO≌△PBO，

∴PA=PB，

设PB=x，

∵PB 为⊙O 的切线，

∴∠DBP=90°，△BDP为直角三角形，

∴BD+BP=DP2，即8+x=(4+x)，

解得x=6，

∴PB=6.