Question

3．已知平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过坐标系的原点O，与x轴的另一个交点为B，顶点坐标为A（$\sqrt{3}$，1）．
（1）求：a、b、c的值；
（2）将△OAB绕原点O顺时针旋转120°，旋转后的三角形设为△OA′B′（点A′对应点A，点B′对应点B），试判断点B′是否在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上；
（3）设点P是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上的一点，且PA=PA′，写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标为A（$\sqrt{3}$，1），可将其解析式写成y=a$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1，代入原点，即可求出a的值，再展开后即可得出b、c的值；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标，根据旋转的性质找出点B′的坐标，再结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
（3）根据点A的坐标结合旋转的性质求出点A′的坐标，设出点P的坐标，根据两点间的距离公式找出PA、PA′的值，结合PA=PA′，即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点P的坐标中即可而得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A（$\sqrt{3}$，1），
∴抛物线解析式可变形为y=a$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1，
又∵抛物线过原点O（0，0），
∴0=a$（0-\sqrt{3}）^{2}$+1，
解得：a=-$\frac{1}{3}$．
∴y=-$\frac{1}{3}$$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=0．
（2）令y=0，则-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=2$\sqrt{3}$．
△OAB绕原点O顺时针旋转120°，即∠BOB′=120，则点B′在第三象限．
过点B′作B′E⊥x轴于点E，则∠B′OE=60°，
∵OB=OB′=2$\sqrt{3}$，
∴B′E=OB′•sin∠B′OE=3，OE=OB′•cos∠B′OE=$\sqrt{3}$，
∴点B′（-$\sqrt{3}$，-3）．
把x=-$\sqrt{3}$代入抛物线的解析式，得：y=-$\frac{1}{3}$$（-\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}$+1=-3，
∴点B′（-$\sqrt{3}$，-3）在抛物线上．
（3）∵A（$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴∠AOB=30°，
∵△OAB绕原点O顺时针旋转120°，
∴点A′在y轴负半轴上，
∴A′（0，-2）．
设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m），
则PA=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m-1）^{2}}$，PA′=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m+2）^{2}}$，
∵PA=PA′，
∴$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m-1）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m+2）^{2}}$，
整理，得：m²-3$\sqrt{3}$m=0，
解得：m₁=0，m₂=3$\sqrt{3}$，
经检验m₁=0，m₂=3均为方程的解，
∴点P的坐标为（0，0）或（3$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、旋转的性质、两点间的距离公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出点B′的坐标；（3）找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．