Question

26、如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A，C两顶点在直线l同侧，过点A，C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l．
（1）试说明：EF=AE+CF；
（2）如图②，当A，C两顶点在直线l两侧时，其它条件不变，猜想EF，AE，CF满足什么数量关系（直接写出答案，不必说明理由）．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质得到∠ABC=90°，AB=CB，由AE⊥直线l，CF⊥直线l，可得到∠AEB=∠CFB=90°，
再由∠CBF+∠ABE=90°和∠FCB+∠CBF=90°，利用同角的余角相等可证明∠ABE=∠BCF，这样可以证明△AEB≌△BFC，即可得出答案；
（2）先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，即可以得出EF=AE-CF．

解答：证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段之间的等量关系经常运用全等解决，同学们应学会这种思想．