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抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足如下四个条件:abc=0;a+b+c=3;ab+bc+ca=-4;a精英家教网<b<c.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边),与y轴的交点为C.P是抛物线上第一象限内的点,AP交y轴于点D,当OD=1.5时,试比较S△AOD与S△DPC的大小.
分析:(1)因为a不等于0故分别令c=0以及b=0时求出a,c的值.
(2)令y=0求出A,B两点的坐标.做PG⊥x轴于G,利用线段比求出m值,然后可求出各有关线段的值.最后求解.
解答:精英家教网解:(1)∵a≠0,abc=0,
∴bc=0
<1>当b=0时
a+b+c=3
ab+ac+bc=-4

a+c=3
ac=-4

解得
a1=-1
c1=4
a2=4
c2=-1

∵a<b<c,
a2=4
c2=-1
,(不合意,舍去)
∴a=-1,b=0,c=4.(2分)
<2>当c=0时
a+b+c=3
ab+ac+bc=-4

a+b=3
ab=-4

解之得
a1=4
b1=-1
a2=-1
b2=4

∵a<b<c,
a1=4
b1=-1
a2=-1
b2=4
都不合题意,舍去.(3分)
∴所求的抛物线解析式为y=-x2+4.(4分)

(2)在y=-x2+4中,当y=0时,x=±2
∴A、B两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),
过P作PG⊥x轴于G,设P(m,n)
∵点P在抛物线上且在第一象限内,
∴m>0,n>0,n=-m2+4
∴PG=-m2+4,OA=2,AG=m+2(5分)
∵OD∥PG,OD=1.5
OA
AG
=
OD
PG
,即
2
2+m
=
1.5
-m2+4

解得m1=
5
4
m2=-2
(不合题意,舍去),
∴OG=
5
4
(7分)
∵当x=0时,y=4,
∴点C的坐标为(0,4)
∴DC=OC-OD=4-1.5=2.5 S△PDC=
1
2
CD•OG=
1
2
×
5
2
×
5
4
=
25
16

S△AOD=
1
2
AO•OD=
1
2
×1.5×2=
3
2
=
24
16

∴S△PDC>S△AOD.(8分)
点评:本题综合考查了二次函数的相关知识以及三角形面积的计算,难度较大.
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如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1精英家教网
(1)在图中画出△A1OB1
(2)求经过A,A1,B1三点的抛物线的解析式.

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精英家教网一条抛物线y=
1
4
x2+mx+n经过点(0,
3
2
)与(4,
3
2
).
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标.

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(2)若AB=6,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的抛物线上是否存在点P,使△AOP≌△COP?如果存在,请确定点P的位置,并求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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(2)求以M为顶点且过A1的抛物线的解析式;
(3)设过点A1且平行于x轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为D,当⊙D与⊙M相切时,求⊙D的半径和切点坐标.

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