Question

如图，AB为量角器（半圆O）的直径，△ACD是一块含30°角的直角三角板，且∠CAD=30°，AC、AD分别交半圆O于点E、F．
（1）求证：△OEF为等边三角形；
（2）若点E在三角板上的度数为5cm（即AE=5cm），点E在量角器上度数为80°（即

BE

=80°），求量角器的直径．（精确到0.1cm）

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理，易求得∠EOF=60°，又由OE=OF，即可判定：△OEF为等边三角形；
（2）首先连接EB，由圆周角定理，可得∠AEB=90°，又由

BE

=80°，即可求得∠BAE的度数，然后由三角函数的性质，求得答案．

解答：（1）证明：∵∠CAD=30°，
∴∠EOF=2∠CAD=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF为等边三角形；

（2）解：连接EB，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵

BE

=80°，
∴∠EAB=40°，
在Rt△ABE中，AB=

AE

cos∠EAB

=

5

cos40°

≈6.5（cm）．
答：量角器的直径约为6.5cm．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．