Question

5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：
①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF．
其中，正确结论的序号是①②④．（多选不得分）

Answer 1

分析 证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③不正确．

解答 解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP与△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{NP=EP}&{\;}\\{∠ANP=∠EPF}&{\;}\\{AN=PF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①④正确；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，
故②正确；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，
故③错误；
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．