Question

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为（-1，0）和（0，-3），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A，B，C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B，C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，-3）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
（2）先求得直线BC的解析式，则可求得点F的坐标为（m，m-3），再求得点P的纵坐标为，可得线段PF的长；
（3）利用面积和，△PBC的面积S=S_△CPF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BO即可求得．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为m²-2m-3，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=x-3．
∴点F坐标（m，m-3），
∴PF=（m-3）-（m²-2m-3）=-m²+3m．

（3）∵△PBC的面积S=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•BO=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$ 时，△PBC的最大面积$\frac{27}{8}$，
∴点P的坐标为（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 此题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．