Question

16．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，分别延长BC，CB至点E，点D，使CE=2cm，∠EAC=∠D．
（1）求证：△ADB∽△EAC；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形和已知的∠EAC=∠D，得∠E=∠BAD，证明：△ADB∽△EAC；
（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求BD的长度．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，且边长为3cm，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=3cm，
∵∠ABC=∠D+∠BAD，∠ACB=∠E+∠EAC，
又∵∠EAC=∠D，
∴∠E=∠BAD，
∴△EAC∽△ADB，即：△ADB∽△EAC；

（2）由（1）知，△ADB∽△EAC，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{AC}{DB}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{DB}$，
∴DB=$\frac{9}{2}$cm，
则BD的长为$\frac{9}{2}$cm．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质，明确等边三角形的边长相等，且每一个角都是60°，同时利用外角定理得出角相等，这在几何证明中经常运用，要熟练掌握；本题的关键是利用两角相等证明三角形相似．