练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D（
    1
    2
    ，
    1
    2
    ），E（0，-2），F（2
    		3
    ，0    ）．
    （1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F这三个点中，⊙O的关联点是
     
    ．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
    （2）若线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，求⊙O的半径r的取值范围．
    考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,切线的性质,切线长定理,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值
    专题：新定义
    分析：（1）若点P刚好是⊙O的关联点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，此时OP=2r，进而得到：若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
    ①由于OD＜2，OE=2，OF＞2，因此点D、E是⊙O的关联点；②只需考虑点F刚好是⊙O的关联点时所对应的m的值，就可得到m的取值范围．
    （2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r即可，由OF=2
    		3
    即可得到⊙O的半径r的取值范围．
    解答：解：（1）由题可知：若点P刚好是⊙O的关联点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，

    ∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
    ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=
    1
    2
    ∠APB=30°．
    ∴OP=2OA．
    设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r．
    所以若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
    ①过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD，如图2，

    ∵点D（
    1
    2
    ，
    1
    2
    ），
    ∴OC=DC=
    1
    2
    ．
    ∴OD=
    		2
    2
    ．
    ∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
    ∴点D、点E是⊙O的关联点，点F不是⊙O的关联点．
    故答案为D、E．
    ②过点O作OH⊥GF，垂足为H，如图3，

    则有OH=
    1
    2
    OF=
    		3
    ．
    当点P刚好是⊙O的关联点时，OP=2．
    ∵OH＜OP，
    ∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个，记为P1、P2．
    在Rt△GOF中，tan∠GFO=
    OG
    OF
    =
    OG
    2
    		3
    =
    		3
    3
    ，
    解得：OG=2．
    所以点P1与点G重合，此时m=0．
    过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M，
    ∵∠OGF=90°-30°=60°，OP1=OP2，
    ∴∠OP2P1=∠OP1P2=∠OGP2=60°．
    ∴∠P2OF=30°．
    ∴cos∠P2OM=
    OM
    OP2
    =
    OM
    2
    =
    		3
    2
    ．
    ∴OM=
    		3
    ，此时m=
    		3
    ．
    ∵直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，
    ∴点P在线段P1P2（即GP2）上，
    ∴m的范围是0≤m≤
    		3
    ．

    （2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，
    因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r，即2
    		3
    ≤2r，
    则有r≥
    		3
    ．
    ∴⊙O的半径r的取值范围是r≥
    		3
    ．
    点评：本题通过新定义，考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，考查了阅读理解能力及分析问题解决问题的能力，是一道好题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为（1，0），对角线的交点P的坐标为（
    5
    2
    ，1）．
    （1）写出B、C、D三点的坐标；
    （2）若在线段AB上有一点E，过E（
    3
    2
    ，0）点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式；
    （3）若过C点的直线L将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交于点M，求M点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    求
    1
    2
    x-2（x-
    1
    3
    y2）-（
    3
    2
    x-
    1
    3
    y2）的值，其中x=-2，y=
    2
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算
    （1）3a-2b•2ab-2；          
    （2）4xy2z÷（-2x-2yz-1）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知三角形的两条边和其中一条边上的中线，你能用尺规作图画出这个三角形吗？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，直线y=
    1
    2
    x+2    与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x+2    ．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．
    （1）当DE=2时，求四边形CAEB的面积；
    （2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△BPQ周长的最小值；
    （3）连接BE，是否存在点C，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点C坐标；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    求下列各式中x值：49x2-16=0．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    化简与计算：
    （1）
    b
    a-b
    +
    a
    a+b
    +
    2ab
    a2-b2

    （2）
    1
    		2
    -1
    +
    		3
    （
    		3
    -
    		6
    ）+
    		8
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    某超市在家电下乡活动中销售，某种型号的洗衣机原售价为2500元，经两次降价后的售价为2025元．已知两次降价的百分率相同，设为x，则可列方程
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案