Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴的另一个交点为点A（点A在点B的左侧），对称轴为l1，顶点为D．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．

（2）点M（0，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞0．

①结合函数的图象，求x3的取值范围；

②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）①0＜x3＜4，②m的值为或1．

【解析】

（1）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣1），当直线l2经过点D时求得m=﹣1；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x1＞0，可得﹣1＜y3＜3，即可﹣1＜﹣x3+3＜3，所以0＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.

（1）在y=﹣x+3中，令x=0，则y=3；

令y=0，则x=3；得B（3，0），C（0，3），

将点B（3，0），C（0，3）的坐标代入y=x2+bx+c

得：，解得

∴y=x2﹣4x+3；

（2）∵直线l2平行于x轴，

∴y1=y2=y3=m，

①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴顶点为D（2，﹣1），

当直线l2经过点D时，m=﹣1；

当直线l2经过点C时，m=3

∵x2＞x1＞0，

∴﹣1＜y3＜3，

即﹣1＜﹣x3+3＜3，

得0＜x3＜4，

②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．

∵x2＞x1＞0，

∴x3﹣x2=x2﹣x1，

即 x3=2x2﹣x1，

∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，

∴点P、Q关于抛物线的对称轴l1对称，

又抛物线的对称轴l1为x=2，

∴2﹣x1=x2﹣2，

即x1=4﹣x2，

∴x3=3x2﹣4，

将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3

得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3

∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，

∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）

即 x22﹣x2﹣4=0，解得x2=，（负值已舍去），

∴m=（）2﹣4×+3=

如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．

由上可得点P、Q关于直线l1对称，

∴点N在抛物线的对称轴l1：x=2，

又点N在直线y=﹣x+3上，

∴y3=﹣2+3=1，即m=1．

故m的值为或1．