Question

如图，已知抛物线y=a（x-2）²+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连接AC、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，|PA-PC|的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）①由三角形的三边关系可知，|PA-PC|＜AC，当P、A、C三点共线时，|PA-PC|的值最大，为AC的长度，延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点．
求得A（1，0），C（0，-3），根据勾股定理可得AC的长．根据待定系数法可求直线AC的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；
②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P₁，P₁ 关于x轴的对称点为P₂，则P₁、P₂均为所求的点．在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的长，可得P₁（2，-2-

5

）．由对称性得P₂（2，2+

5

）．

解答：解：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1得a×（3-2）²+1=0，
解得：a=-1．
∴此抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3；
（2）①由三角形的三边关系可知，|PA-PC|＜AC，
∴当P、A、C三点共线时，|PA-PC|的值最大，为AC的长度，
∴延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点．
求得A（1，0），C（0，-3），
则有OA=1，OC=3，
∴AC=

OA2+OC2

=

10

．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

．
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
∵抛物线y=-x²+4x-3的对称轴为直线x=2，
∴点P（2，m），
∴m=3×2-3=3，
∴当m=3时，|PA-PC|的值最大，最大值为

10

．
②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P₁，P₁ 关于x轴的对称点为P₂，则P₁、P₂均为所求的点．∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射线DE 上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上．
∴点E的横坐标为2．
又∵OB=OC=3，
∴圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=-x上．
∴E（2，-2）．
在Rt△ADE中，DE=2，AD=

1

2

AB=

1

2

（OB-OA）=

1

2

（3-1）=1，
由勾股定理得EA=

AD2+DE2

=

12+22

=

5

，
∴EP₁=EA=

5

，
∴DP₁=DE+EP₁=2+

5

，
∴P₁（2，-2-

5

）．
由对称性得P₂（2，2+

5

）．
∴符合题意的点P的坐标为P₁（2，-2-

5

）、P₂（2，2+

5

）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度．