(9分)(2014•昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.
(1)y=x2﹣
x﹣3
(2)运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是
(3)K1(1,﹣),K2(3,﹣
)
【解析】
试题分析:(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值;
(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣(t﹣1)2+
.利用二次函数的图象性质进行解答;
(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为(m,
m2﹣
m﹣3).
如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得S△CBK=.则根据图形得到:S△CBK=S△CEK+S△BEK=
EK•m+
•EK•(4﹣m),把相关线段的长度代入推知:﹣
m2+3m=
.易求得K1(1,﹣
),K2(3,﹣
).
【解析】
(1)把点A(﹣2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得
,
解得 ,
所以该抛物线的解析式为:y=x2﹣
x﹣3;
(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.
∴PB=6﹣3t.
由题意得,点C的坐标为(0,﹣3).
在Rt△BOC中,BC==5.
如图1,过点Q作QH⊥AB于点H.
∴QH∥CO,
∴△BHQ∽△BOC,
∴=
,即
=
,
∴HQ=t.
∴S△PBQ=PB•HQ=
(6﹣3t)•
t=﹣
t2+
t=﹣
(t﹣1)2+
.
当△PBQ存在时,0<t<2
∴当t=1时,
S△PBQ最大=.
答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得
,
解得 ,
∴直线BC的解析式为y=x﹣3.
∵点K在抛物线上.
∴设点K的坐标为(m,m2﹣
m﹣3).
如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m,m﹣3).
∴EK=m﹣3﹣(
m2﹣
m﹣3)=﹣
m2+
m.
当△PBQ的面积最大时,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ=.
∴S△CBK=.
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+
•EK•(4﹣m)
=×4•EK
=2(﹣m2+
m)
=﹣m2+3m.
即:﹣m2+3m=
.
解得 m1=1,m2=3.
∴K1(1,﹣),K2(3,﹣
).
科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省七年级上学期12月月考数学试卷(解析版) 题型:选择题
中海油集团成立29年来,发展异常迅猛,到2020年在深水地区实现新的突破,建设一个5000万吨的大油田。“5000万” 用科学记数法可表示为( )
A.5×103 B.5×106 C.5×107 D.5×108
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年江苏省八年级上学期第二次单元测数学卷(解析版) 题型:选择题
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南昆明卷)数学(解析版) 题型:解答题
(6分)(2014•昆明)某校计划开设4门选修课:音乐、绘画、体育、舞蹈,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门),对调查结果进行统计后,绘制了如下不完整的两个统计图.
根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)此次调查抽取的学生人数为a= 人,其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校有2000名学生,请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人?
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南昆明卷)数学(解析版) 题型:填空题
(3分)(2014•昆明)甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是:S甲2=2,S乙2=1.5,则射击成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙“).
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南卷)数学(解析版) 题型:解答题
(6分)(2014•云南)将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程S(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系S=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式);
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)九年级上3.3圆心角2(解析版) 题型:填空题
如图,已知:AB是⊙O的直径,点C、D是弧BE上的三等分点,∠AOE=60°,则弧DE= 度.
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