Question

如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组

        解得：

∴抛物线的解析式为       

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4  ,          ∴P1

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）

（3）如图设点E ，则

①当P1(-1,4)时，

 

 

 

 

 

 

 

 

S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =  

  ∴    ∴

∵点E在x轴下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)2-4×7=-12<0     ∴此方程无解

②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =     

 ∴    ∴

∵点E在x轴下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。