Question

12．将九个数填在3×3（3行3列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图称为“广义的三阶幻方”．如图1就是一个满足条件的广义三阶幻方．图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数．

（1）请直接将图2、图3的其余6个数全填上；
（2）就图3加以说明这样填写的理由．

Answer 1

分析 （1）图2，先由第一行求出三阶幻方的幻和=-2+8-6=0，然后根据三阶幻方的幻和=中心数字×3，可求中心数字为0，然后再根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于0，即可求出其它5个数；
（2）图3，先根据广义的三阶幻方，两红线的6个数之和=两蓝线的6个数字之和．（其中x算了两次）求出x的值；然后再根据三阶幻方的幻和=中心数字×3 （幻和就是每行或每列，或对角线上三个数字的和）可得：（-6）+B+（-8）=3B，即可求B的值，然后根据幻和即可求A、C、D、E的值．

解答 解：（1）图1，幻和=-2+8-6=0，
∵三阶幻方的幻和=中心数字×3，
∴中心数字为0，
∴对角线右下角的数字为：0-（-2）-0=2，
对角线左下角的数字为：0-（-6）-0=6，
中心数字的下方的数字为：0-8-0=-8，
中心数字的左边的数字为：0-（-2）-6=-4，
中心数字的右边的数字为：0-（-6）-2=4．
故填表如下：


（2）分析如图所示：

设其余6个位置的数字分别为：A，B，C，D，E，X，
①根据广义的三阶幻方，两红线的6个数之和=两蓝线的6个数字之和，可得：
[（-6）+（-5）+A]+[（-11）+B+C]=[（-6）+B+x]+（A+C+x），
（-6）+（-5）+（-11）+A+B+C=（-6）+A+B+C+2x，
（-6）+（-5）+（-11）=（-6）+2x，
（-5）+（-11）=2x，
2x=（-5）+（-11），
2x=-16，
x=-8，
②三阶幻方的幻和=中心数字×3，可得：
（-6）+B+（-8）=3B，
2B=（-6）+（-8），
B=-7，
③三阶幻方的幻和=中心数字×3，可得：
（-11）+（-7）+C=3×（-7），
-18+C=-21，
C=-3，
④同理，可得：
（-5）+（-7）+E=3×（-7），
-12+E=-21，
E=-9，
⑤同理，可得：
（-6）+（-5）+A=3×（-7），
-11+A=-21，
A=-10，
⑥同理，可得：
D+（-9）+（-8）=3×（-7），
D+（-17）=-21，
D=-4．
所以6个数字分别为：A=-10，B=-7，C=-3，D=-4，E=-9，X=-8．

点评 本题考查了有理数的加法，广义的三阶幻方，解题的关键是先确定中心数字，然后确定幻和．