Question

8．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-9x+18=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=$\frac{3}{4}$
（1）求点A，C的坐标；
（2）求AB的长；
（3）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出已知方程的解确定出OA与OC的长，即可确定出A与C的坐标；
（2）在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ABO，将已知tan∠ABO的值及OA的长代入求出OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（3）过E作EF⊥x轴，交x轴于点F，由三角形AEF与三角形ABO相似，根据相似得比例求出EF的长，即为E的纵坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，把E纵坐标代入求出E的横坐标，确定出E坐标，代入反比例解析式即可求出k的值．

解答 解：（1）方程x²-9x+18=0，
变形得：（x-3）（x-6）=0，
解得：x=3或x=6，
∴OA=6，OC=3，
则A（6，0），C（-3，0）；
（2）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=8，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；
（3）过E作EF⊥x轴，交x轴于点F，
∵∠EAF=∠BAO，∠EFA=∠BOA=90°，
∴△AEF∽△ABO，
∵OB=8，AB=10，AE=AB-BE=10-5=5，
∴$\frac{EF}{OB}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{EF}{8}$=$\frac{5}{10}$，
∴EF=4，即E纵坐标为4，
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（6，0），B（0，8）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=0}\\{n=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
把y=4代入得：x=3，即E（3，4），
把E坐标代入反比例解析式得：k=12，
则k的值为12．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：解一元二次方程-因式分解法，待定系数法求一次函数与反比例解析式，坐标与图形性质，勾股定理，以及三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．