Question

5．如图，△ABC中，A（1，0），B（4，0），C（0，2），将△AOC沿x轴的正半轴以每秒1个单位的速度向右平移得到△A′O′C′，设运动时间为t（s），△A′O′C′与△ABC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并说明自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 分三种情形：①0＜t≤1②1＜t≤4③t＞4求出s与t的关系，图1中，利用s=S_△BO′F-S_△AO′H-S_△BA′D即可解答，图2中利用s=S_△BO′F-S_△BA′D即可求解，图3中利用S=S_△BO′F=$\frac{1}{2}$BO′•O′F求解．

解答 解：过D作DE⊥BO于E，
∵A（1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
①当0＜t≤1时，如图1，∵AC∥A′C′，
∴△A′BD∽△ABC，
∴$\frac{A′B}{AB}=\frac{DE}{OC}$，
∴$\frac{4-1-t}{3}$=$\frac{DE}{2}$，
∴DE=$\frac{6-2t}{3}$，
∵OC∥OC′，
∴△BFO′∽△BCO，
∴$\frac{O′F}{OC}$=$\frac{O′B}{OB}$，
∴$\frac{O′F}{2}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴O′F=$\frac{4-t}{2}$，
∵HO′∥CO，
∴$\frac{HO′}{CO}=\frac{AO′}{AO}$，
∴$\frac{HO′}{2}=\frac{1-t}{1}$，
∴HO′=2（1-t），
∴s=S_△BO′F-S_△AO′H-S_△BA′D=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{4-t}{2}$-$\frac{1}{2}$×（4-t-1）•$\frac{6-2t}{3}$-$\frac{1}{2}（1-t）•2（1-t）$=-$\frac{13}{12}{t}^{2}+2t$，
②当1＜t≤4时，如图2，
s=S_△BO′F-S_△BA′D=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{4-t}{2}$-$\frac{1}{2}$×（4-t-1）•$\frac{6-2t}{3}$=-$\frac{1}{12}{t}^{2}$+1，
③t＞4时，如图3，
S=S_△BO′F=$\frac{1}{2}$BO′•O′F=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{4-t}{2}$=$\frac{1}{4}$t²-2t+4，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{13}{12}{t}^{2}+2t}&{（0＜t≤1）}\\{-\frac{1}{12}{t}^{2}+1}&{（1＜t≤4）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-2t+4}&{（t＞4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，平移的性质．三角形的面积，学会分类讨论、正确画出图象是解题的关键．