分析 (1)先求出△ADE和△CDE的面积相等,再根据平行线得出△ADE∽△ABC,推出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{AD}{AB}$)2,把AB=2AD代入求出即可;
(2)求出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x2①,$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②,①÷②即可得出答案;
(3)由(2)知x的取值范围是0<x<4,于是得到y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x2+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$(x-2)2+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$,即可得到结论.
解答 解:(1)∵D为AB中点,
∴AB=2AD,
∵DE∥BC,
∴AE=EC,
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等,
∴S△ADE=S△CDE=S1,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{AD}{AB}$)2=($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{4}$,
∴S′:S=1:4;
(2)∵AB=4,AD=x,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{AD}{AB}$)2=($\frac{x}{4}$)2,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x2①,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$,
∵AB=4,AD=x,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{x}{4}$,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{x}{4-x}$
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②,
①÷②得:
∴y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x2+$\frac{1}{4}$x,
∵AB=4,
∴x的取值范围是0<x<4;
(3)由(2)知x的取值范围是0<x<4,
∴y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x2+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$(x-2)2+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$,
∴S′≤$\frac{1}{4}$S.
点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积的计算方法,二次函数的最值问题,熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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