Question

20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=8，AD=6，点E在边CD上，AE与BD相交于点F，∠EAD=∠ABD．
（1）求证：△ADE∽△BAD；
（2）设BD=x，DF=y，求：y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当BF=9，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得梯形ABCD为等腰梯形，所以∠BAD=∠ADC，又因为∠EAD=∠ABD，所以可证明△ADE∽△BAD；
（2）由（1）可得AE=$\frac{3}{4}$x，易证△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质可得AF=$\frac{48}{x}$，因为EF=AE-AF，进而可得y关于x的函数解析式，由三角形的三边关系得出x的取值范围即可；
（3）延长AE交BC的延长线为G，由△ADF∽△BDA，利用相似的性质可求出DF=3，由△ADE∽△BAD，利用相似三角形的性质可求出DE=4.5，再根据平行线分线段成比例定理即可求出BC的长．

解答 （1）证明：∵AB=CD，AD∥BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠EAD=∠ABD，∠ADC=∠BAD，
∴△ADE∽△BAD；
（2）解：∵△ADE∽△BAD，
∴AD：AB=AE：BD，
∴6：8=AE：x，
∴AE=$\frac{3}{4}$x，
∵∠EAD=∠ABD，∠ADF=∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴AF：AB=AD：BD，
∴AF：8=6：x，
∴AF=$\frac{48}{x}$，
∵EF=AE-AF，
∴y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{48}{x}$（2＜x＜14）；
（3）解：延长AE交BC的延长线为G，
∵△ADF∽△BDA，
∴DF：AD=AD：BD，
∴DF：6=6：（DF+9），
∴DF=3，
∵△ADE∽△BAD，
∴DE：AD=AD：AB，
∴DE：6=6：8，
∴DE=4.5，
∵CD=8
∴DE：CE=4.5：（8-4.5）=9：7，
∵AD∥BG，
∴AD：CG=DE：CE，
∴6：CG=9：7，
∴CG=$\frac{14}{3}$，
∵AD∥BG
∴AD：BG=DF：BF，
∴6：（BC+$\frac{14}{3}$）=3：9，
∴BC=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了相似形的综合题，用到的知识点有等腰梯形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是正确作出图形的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答．