Question

12．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AE⊥CG．

Answer 1

分析 由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，所以AD=CD，DE=DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，故夹角相等，可以△ADE≌△CDG，利用互余关系可以证明AE⊥CG．

解答 证明：延长CG与AD、AE分别交于点M、N，
∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，GD=ED，
∵∠CDG=90°+∠ADG，∠ADE=90°+∠ADG
∴∠CDG=∠ADE=90°，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=GD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠EAD=∠GCD，
∵∠GCD+∠CMD=90°，∠CMD=∠AMN，
∴∠AMN+∠EAD=90°，
∴∠ANM=90°，
即AE⊥CG．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．