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3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,点E在$\widehat{BC}$上,且$\widehat{CE}=\widehat{AD}$,AE与CD交于点G,与BC交于点F.
(1)求证:$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$;
(2)连接OG,试判断OG与BC的位置关系,并说明理由;
(3)过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,点M在⊙O上.若AE=8,AH=2,试探究在点M的运动过程中,$\frac{HM}{PM}$的值是否发生变化?若不变,求出其值;若变化,说明变化规律.

分析 (1)首先利用垂径定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$,然后利用$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$,从而得到$\widehat{AE}$=$\widehat{DC}$,即可得∠EBC=∠ABC,求出△BHC∽△EFB,即可得出答案;
(2)利用圆周角定理得出,∠DCF=∠EFB,进而得出∠DCF=∠AFC,再利用三角形中位线定理得出答案;
(3)分别利用当点M与点A重合时:$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$,当点M与点B重合时:$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$,当点M不与点A、B重合时,得出△OHM∽△OPM,分别得出答案.

解答 (1)证明:连接BE,GO,AC,
∵CD⊥AB,AB为直径,
∴∠E=90°,CH=DH,$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$,
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$,
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$,
∴∠EBC=∠ABC,
∵∠E=∠CHB,
∴△BHC∽△EFB,
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{CH}$,
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$;

(2)解:∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$,
∴∠EBC=∠EAC=∠DCA=∠CBA,
∵∠BFE+∠EBC=90°,∠MBC+∠DCB=90°,
∴MG=GC,∠DCF=∠EFB,
∴∠DCF=∠AFC,
∴GF=GC,且AO=BO,
∴GO∥BC,GO=$\frac{1}{2}$BC;

(3)解:$\frac{HM}{PM}$的值不变
理由:如图2,连接DO,则DO⊥PD,DH⊥PO,
可得△OHD∽△ODP,△OHD∽△DHP,
则DO2=HO•OP;
DH2=OH•HP,
∵$\widehat{CE}=\widehat{AD}$,弦CD⊥AB于H,
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AD}$,
∴AE=DC=8,
∴DH=4,
设AO=x,则HO=x-2,
故x2=(x-2)2+42
解得:x=5,故HO=3,
即42=3•HP,
∴HP=$\frac{16}{3}$.
当点M与点A重合时:$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$=$\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$,
当点M与点B重合时:$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$=$\frac{8}{\frac{16}{3}+8}$=$\frac{3}{5}$,
当点M不与点A、B重合时:连接HM、PM、MO、DO,
∵DO2=HO•OP,
∴OM2=HO•OP,
∴$\frac{MO}{HO}$=$\frac{PO}{MO}$,
∵∠AOM=∠MOA,
∴△OHM∽△OPM,
∴$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HO}{MO}$=$\frac{3}{5}$.
∴综上所述,$\frac{HM}{PM}$的比值不变,比值为:$\frac{3}{5}$.

点评 本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是得到△OHD∽△ODP,△OHD∽△DHP,从而得到DH2=OH•HP,综合性较强,难度较大.

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