Question

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，点E在$\widehat{BC}$上，且$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，AE与CD交于点G，与BC交于点F．
（1）求证：$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$；
（2）连接OG，试判断OG与BC的位置关系，并说明理由；
（3）过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，点M在⊙O上．若AE=8，AH=2，试探究在点M的运动过程中，$\frac{HM}{PM}$的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．

Answer 1

分析 （1）首先利用垂径定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，然后利用$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，从而得到$\widehat{AE}$=$\widehat{DC}$，即可得∠EBC=∠ABC，求出△BHC∽△EFB，即可得出答案；
（2）利用圆周角定理得出，∠DCF=∠EFB，进而得出∠DCF=∠AFC，再利用三角形中位线定理得出答案；
（3）分别利用当点M与点A重合时：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$，当点M与点B重合时：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$，当点M不与点A、B重合时，得出△OHM∽△OPM，分别得出答案．

解答 （1）证明：连接BE，GO，AC，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴∠E=90°，CH=DH，$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EBC=∠ABC，
∵∠E=∠CHB，
∴△BHC∽△EFB，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{CH}$，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$；

（2）解：∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EBC=∠EAC=∠DCA=∠CBA，
∵∠BFE+∠EBC=90°，∠MBC+∠DCB=90°，
∴MG=GC，∠DCF=∠EFB，
∴∠DCF=∠AFC，
∴GF=GC，且AO=BO，
∴GO∥BC，GO=$\frac{1}{2}$BC；

（3）解：$\frac{HM}{PM}$的值不变
理由：如图2，连接DO，则DO⊥PD，DH⊥PO，
可得△OHD∽△ODP，△OHD∽△DHP，
则DO²=HO•OP；
DH²=OH•HP，
∵$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，弦CD⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AD}$，
∴AE=DC=8，
∴DH=4，
设AO=x，则HO=x-2，
故x²=（x-2）²+4²，
解得：x=5，故HO=3，
即4²=3•HP，
∴HP=$\frac{16}{3}$．
当点M与点A重合时：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$=$\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$，
当点M与点B重合时：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$=$\frac{8}{\frac{16}{3}+8}$=$\frac{3}{5}$，
当点M不与点A、B重合时：连接HM、PM、MO、DO，
∵DO²=HO•OP，
∴OM²=HO•OP，
∴$\frac{MO}{HO}$=$\frac{PO}{MO}$，
∵∠AOM=∠MOA，
∴△OHM∽△OPM，
∴$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HO}{MO}$=$\frac{3}{5}$．
∴综上所述，$\frac{HM}{PM}$的比值不变，比值为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得到△OHD∽△ODP，△OHD∽△DHP，从而得到DH²=OH•HP，综合性较强，难度较大．