Question

如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰的比是k，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，以此类推，第2006个黄金三角形的周长是

 

．（用含k的式子表示）

Answer 1

考点：黄金分割

专题：新定义

分析：先计算出BC=k，则得到第一个黄金三角形的周长=1+1+k=2+k，同样得到第二个黄金三角形的周长=k（2+k），第三个黄金三角形的周长=k²（2+k），于是可根据此规律得到第2006个黄金三角形的周长．

解答：解：因为第一个黄金三角形的周长=1+1+k=2+k，
第二个黄金三角形的周长=2k+k²=k（2+k），
第三个黄金三角形的周长=2k²+k³=k²（2+k），
所以第2006个黄金三角形的周长是k²⁰⁰⁵（2+k）．
故答案为k²⁰⁰⁵（2+k）．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．