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【题目】如图,已知,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠EBD+∠EDB=90°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)H是直线CD上一动点(不与点D重合),BI平分∠HBD.写出∠EBI与∠BHD的数量关系,并说明理由.

【答案】
(1)证明:∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,

∴∠ABD=2∠EBD,∠BDC=2∠BDE,

∵∠EBD+∠EDB=90°,

∴∠ABD+∠BDC=2×90°=180°,

∴AB∥CD


(2)解:∵BE平分∠ABD,

∴∠ABD=2∠EBD,

∵BI平分∠HBD,

∴∠HBD=2∠IBD,

如图1,点H在点D的左边时,∠ABH=∠ABD﹣∠HBD,

∠EBI=∠EBD﹣∠IBD,

∴∠ABH=2∠EBI,

∵AB∥CD,

∴∠BHD=∠ABH,

∴∠BHD=2∠EBI,

如图2,点H在点D的右边时,∠ABH=∠ABD+∠HBD,

∠EBI=∠EBD+∠IBD,

∴∠ABH=2∠EBI,

∵AB∥CD,

∴∠BHD=180°﹣∠ABH,

∴∠BHD=180°﹣2∠EBI,

综上所述,∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°﹣2∠EBI.


【解析】(1)根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD,∠BDC=2∠BDE,然后求出∠ABD+∠BDC=180°,再根据同旁内角互补,两直线平行证明;(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD,∠HBD=2∠IBD,然后分点H在点D的左边和右边两种情况,表示出∠ABH和∠EBI,从而得解.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平行线的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.

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