Question

（2004•广安）如图，⊙O中，BC为直径，AH⊥BC，垂足为D，过B作弦BF，交AD于E，交⊙O于F，且AE=BE．
（1）求证：AB=AF；  
（2）若BE•EF=32，AD=6，证明：AF∥BC．

Answer 1

分析：（1）由AE=BE，易证得

BH

=

AF

，又由AH⊥BC，由垂径定理即可求得

AB

=

BH

，继而可得

AB

=

AF

，则可证得AB=AF；
（2）由相交弦定理，可求得AE的长，继而可得∠DBE=30°，又由三角形内角和定理，可求得∠AFB=∠DBE，继而证得AF∥BC．

解答：证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF，
∴

BH

=

AF

，
∵AH⊥BC，
∴

AB

=

BH

，
∴

AB

=

AF

，
∴AB=AF；

（2）∵BE•EF=AE•HE，
∴AE•（12-AE）=32，
解得：AE=8或AE=4，
由题意得：AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
在Rt△BDE中，BE=4=2DE，
∴∠DBE=30°，
∵∠DAB=∠EBA，且∠DAB+∠ABE+∠DBE=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠AFB=∠DBE，
∴AF∥BC．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相交弦定理、圆心角、弧、弦的关系以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．