Question

【题目】（探究与证明）

在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点（不与点A、C重合），连BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连GH、CH．

（1）若G在AC上（如图1），则：①图中与△ABG全等的三角形是　 　．

②线段AG、CG、GH之间的数量关系是　 　．

（2）若G在AC的延长线上（如图2），那么线段AG、CG、BG之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；

（应用）（3）如图3，G在正方形ABCD的对角线CA的延长线上，以BG为边作正方形BGMN，若AG＝2，AD＝4，请直接写出正方形BGMN的面积．

Answer 1

【答案】（1）①△CBH，②AG2+CG2＝GH 2（2）20+8

【解析】

探究与证明（1）①由题意可得AB＝BC，BG＝BH，∠ABG＝∠CBH 可证△ABG≌△BCH

②由△ABG≌△BCH可得AG＝CH，∠ACH＝90° 可得AG、CG、GH之间的数量关系．

（2）连接CH，可证△ABG≌△BCH，可得△CHG是直角三角形，则AG2+CG2＝GH2，且HG2＝BG2+BH2＝2BG2，可得线段AG、CG、BG之间．

应用：（3）连接BD交AC于O，由正方形ABCD可得AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝2，则根据正方形GBMN的面积＝BG2＝GO2+BO2．可求正方形GBMN的面积．

解：探究与证明：（1）①△CBH，②AG2+CG2＝GH 2

理由如下：

∵ABCD是正方形

∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°

又∵GB⊥BH

∴∠ABG＝∠CBH且BG＝BH，AB＝BC

∴△ABG≌△BCH

∴∠BAC＝∠BCH＝45°，AG＝CH

∴∠GCH＝90°

在Rt△GCH中，CH2+CG2＝GH 2

∴AG2+CG2＝GH 2

（2）

如图2，连CH

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC＝90°，AB＝BC

∵∠GBH＝90°

∴∠ABC+∠GBC＝∠GBH+∠GBC

即：∠ABG＝∠CBH

又∵BH＝BG

∴△ABG≌△CBH

∴AG＝CH，∠BCH＝∠BAC＝45°

∴∠ACH＝∠ACB+∠BCH＝45°+45°＝90°

∴AG⊥CH

∴CH2+CG2＝GH 2

∴AG2+CG2＝GH2

∵HG2＝BG2+BH2＝2BG2

∴AG2+CG2＝2BG2

应用：（3）如图连接BD交AC于O

∵四边形ABCD 是正方形，AD＝4，

∴AC＝4，BO＝AO＝DO＝CO＝2，AC⊥BD，

∴BG2＝GO2+BO2，

∵S正方形GBNM＝BG2＝GO2+BO2＝（2+2）2/span>+（2）2＝20+8.