Question

（2013•澄江县一模）在直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=

2 3

x

（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的动⊙P始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，动⊙P与x轴相切，设与x轴的切点为K，求此时⊙P的面积．
（2）如图2，动⊙P与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求此时⊙P的面积．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质以及正方形的判定和矩形的判定得出四边形OKPA是正方形，进而得出答案；
（2）首先得出△PBC是等边三角形，进而利用锐角三角函数关系得出PB=PA的长，即可得出⊙P的面积．

解答：解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切
∴PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四边形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四边形OKPA是正方形．
∴PA=PK=r，
∴r²=2

3

，
∴⊙P的面积=r²π=2

3

π；

（2）连接PB，设点P的横坐标为x，
则其纵坐标为

2 3

x

．
过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形
∴BC=PC=PA=AB，而 PA=PB=PC，
∴△PBC是等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

．
sin60°=

PG

PB

，
即

3

2

=

2 3 x

x

解得：x=±2（负值舍去）
∴PA=BC=r=2，
∴⊙P的面积=4π．

点评：此题主要考查了反比例函数综合、菱形的性质以及矩形的判定和正方形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出△PBC是等边三角形是解题关键．