Question

（6分）如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为对角线AC的中点，连结
DE并延长交BC于点F，连结AF．

（1）求证：AD=CF；
（2）在原有条件不变的情况下，当AC满足条件   ▲ 时（不再增添辅助线），四边形AFCD成为菱形，

Answer 1

（1）略……………………（4分）；   
（2） AC平分∠BCD 或ＡＣ⊥ＤＦ或AC平分∠FAD…………（2分）  

分析：
（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC，∵E为AC的中点，∴AE=CE．利用AAS证得△DEA≌△FEC．∴AD=CF；
（2）若四边形AFCD成为菱形，则应证四边形AFCD是平行四边形，因而加一组邻边相等即可，如：DA=DC。
解答：
（1）证明：在△DEA和△FEC中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC．
又∵E为AC的中点，
∴AE=CE，
∴△DEA≌△FEC，
∴AD=CF。
（2）当AC满足条件ＡＣ⊥ＤＦ时，
证明：∵AD∥BC，
又∵AD=CF，
∴四边形AFCD为平行四边形．
又∵ＡＣ⊥ＤＦ，
∴四边形AFCD为菱形．
点评：本题利用了：（1）两直线平行，内错角相等；（2）全等三角形的判定和性质；（3）平行四边形和菱形的判定。