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【题目】已知抛物线y轴交于点Cx轴的两个交点分别为A-40),B10).

1)求抛物线的解析式

2)已知点P在抛物线上连接PCPBPBC是以BC为直角边的直角三角形求点P的坐标

3)已知点Ex轴上F在抛物线上是否存在以ACEF为顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出点E的坐标若不存在请说明理由

【答案】1;(2 ;(3)存在点

【解析】试题分析:1)因为抛物线经过点A40),B10),所以可以设抛物线为y=x+4)(x1),展开即可解决问题

2先证明ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题

3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题.

试题解析:解:(1)抛物线的解析式为y=x+4)(x﹣1),即

2)存在.当x=0 =2,则C02),OC=2A40),B10),OA=4OB=1AB=5,当PCB=90°时,AC2=42+22=20BC2=22+12=5AB2=52=25

AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形,ACB=90°当点P与点A重合时,PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣40);

PBC=90°时,PBAC,如图1,设直线AC的解析式为y=mx+n,把A40),C02)代入得 ,解得 直线AC的解析式为y=x+2BPAC直线BP的解析式为y=x+p,把B10)代入得+p=0,解得p=直线BP的解析式为y=x,解方程组 ,此时P点坐标为(﹣53);

综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣40),P2﹣5﹣3);

3)存在点E,设点E坐标为(m0),Fn ,分三种情况讨论:

AC为边,CF1AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣70);

AC为边时,ACEF,易知点F纵坐标为﹣2 =2,解得n= ,得到F22),F32),根据中点坐标公式得到: = =,解得m=,此时E20),E30);

AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4﹣10).

综上所述满足条件的点E为(﹣70)或(﹣10)或(0)或(0).

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