【题目】已知抛物线与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(-4,0),B(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点P在抛物线上,连接PC、PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2), ;(3)存在点, , , , .
【解析】试题分析:(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题;
(2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题;
(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题.
试题解析:解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即;
(2)存在.当x=0, =2,则C(0,2),∴OC=2,∵A(﹣4,0),B(1,0),∴OA=4,OB=1,AB=5,当∠PCB=90°时,∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);
当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,设直线AC的解析式为y=mx+n,把A(﹣4,0),C(0,2)代入得: ,解得: ,∴直线AC的解析式为y=x+2,∵BP∥AC,∴直线BP的解析式为y=x+p,把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,∴直线BP的解析式为y=x﹣,解方程组: 得: 或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);
综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);
(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n, ),分三种情况讨论:
①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0);
②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,∴ =﹣2,解得n= ,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),根据中点坐标公式得到: = 或 =,解得m=或,此时E2(,0),E3(,0);
③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0).
综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).
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【题目】已知关于x,y的方程组,则下列结论中正确的是( )
①当a=5时,方程组的解是;
②当x,y的值互为相反数时,a=20;
③不存在一个实数a使得x=y;
④若,则a=2.
A. ①②③④ B. ②③ C. ②③④ D. ②③④
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【题目】甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道,甲队按一定的工作效率先施工,一段时间后,乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工,中途乙队遇到碎石层,工作效率降低,当乙队完成碎石层时恰好隧道被打通,此时甲队工作了天,设甲、乙两队各自开凿隧道的长度为(米),工作时间为(天),与之间的函数图像如图所示,下列说法:
①甲每天开凿隧道米;
②这条隧道总长为米;
③当乙遇上碎石层时,甲恰好开凿隧道米,
④若乙在甲施工天后开始施工,则乙在遇到碎石层之前的施工速度比之后快米/天,其中正确的有__________.
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【题目】小晗家客厅装有一种三位单极开关,分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯,在正常情况下,小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯,既可三盏、两盏齐开,也可分别单盏开.因刚搬进新房不久,不熟悉情况.
(1)若小晗任意按下一个开关,正好楼梯灯亮的概率是多少?
(2)若任意按下一个开关后,再按下另两个开关中的一个,则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少?请用树状图或列表法加以说明.
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【题目】在2016年泉州市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是( )
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE是AC的垂直平分线.
(1)求证:△BCD是等腰三角形;
(2)△BCD的周长是a,BC=b,求△ACD的周长(用含a,b的代数式表示)
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【题目】如图,△ABC中,∠B=10°,∠ACB=20°,AB=4cm,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
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【题目】如图,四边形ABCD中AC平分∠BAD,∠ADC=∠ACB=90,E为AB的中点,AC与DE交于点F.
(1)求证: =AB·AD;
(2)求证:CE//AD;
(3)若AD=6, AB=8.求 的值.
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【题目】甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球,甲盒中有个白球、个蓝球;乙盒中有个白球、若干个蓝球,从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的倍.
()求乙盒中蓝球的个数.
()从甲、乙两盒中分别任意摸取一球,求这两球均为蓝球的概率.
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