Question

2．如图，给出一个任意的△ABC．
（1）请你用尺规作图画出△ABC的外接圆⊙O，然后在AC上截取CD=BC，连结BD并延长交⊙O于点E，连结CE；
（2）假设AD=DE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，DG=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形外接圆的作法首先得出外接圆圆心，进而得出半径，画出图形即可；
（2）首先证明△BCD是等边三角形，进而结合等边三角形的性质以及勾股定理得出AB的长．

解答 解：（1）如图所示：

（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，
在△ABD和△ECD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠E}\\{AD=DE}\\{∠ADB=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴BD=CD

又∵AD=DE
∴△BCD是等边三角形   
∵∠BDC=60°，
∴DF=1，
∴AF=AD+DF=4，CD=5，
∴BC=5，CH=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=AC-CH=$\frac{11}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{H^2}+B{H^2}}$=7．

点评 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理以及等边三角形的判定与性质，正确得出△BCD是等边三角形是解题关键．