Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣ x2+ x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线的对称轴于点D．

（1）求点D的坐标；
（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+ BM的值最小，求点M的坐标及PM+ BM的最小值；

（3）抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A，E平移后的对应点分别为点A′、E′．在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，﹣ x2+ x+2=0，

解得x1= ，x2=﹣ ，

即A（﹣ ，0），B（ ，0），

当x=0时，y=2，即C（0，2），

直线BC的解析式为y=﹣ x+2，

直线AD的解析式为y=﹣ x﹣ ，

抛物线的对称轴为x=﹣ = ，

当x= 时，y=﹣ x﹣ =﹣ ，

即D点坐标为（ ，﹣ ）

（2）

解：如图1，作PF∥y轴交BC于F，

则△PQF∽△BOC，

∴ = =

即PQ= PF

设P（t，﹣ t2+ t+2），F（t， t+2）

∴PF=﹣ t2+ t

当t= 时，PF取最大值，PQ取最大值，

此时P（ ， ）

作MN⊥x轴于N，则△BMN∽△BOC，

∴ = =

即MN= BM，

则当P，M，N共线时，PM+ BM=PN= ，

M（ ，1）

（3）

解：如图2所示，

1）当A′E′=A′B，A′E′∥BF1，A′E′=BF1时四边形A′E′F1B是菱形，

此时A1′（ ， ），A2′（﹣ ，﹣ ）；

2）当A′E′=E′B，A′E′∥BF2，A′E′=BF2时四边形A′E′F2B是菱形，

此时A3′（﹣ ，0），A4′（﹣ ，﹣ ）；

3）当A′B=E′B，A′F3∥BE′，A′F3=BE′时四边形A′F3E′B是菱形，

此时A5′（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）当y=0时，﹣ x2+ x+2=0，解方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），当x=0时，y=2，即C（0，2），根据待定系数法可求直线BC的解析式为y= x+2，根据平行两直线间的关系可得直线AD的解析式为y=﹣ x﹣ ，根据抛物线的对称轴为x=﹣ = ，可得当x= 时，y=﹣ x﹣ =﹣ ，即D点坐标为（ ，﹣ ）；（2）如图1，作PF∥y轴交BC于F，则△PQF∽△BOC，根据相似三角形的性质可得PQ= PF，设P（t，﹣ t2+ t+2），F（t， t+2）可得PF=﹣ t2+ t，当t= 时，PF取最大值，PQ取最大值，此时P（ ， ），作MN⊥x轴于N，则△BMN∽△BOC，根据相似三角形的性质可得MN= BM，则当P，M，N共线时，PM+ BM=PN= ，M（ ，1）（3）如图2所示，分三种情况：1）当A′E′=A′B，A′E′∥BF1 ， A′E′=BF1时四边形A′E′F1B是菱形；2）当A′E′=E′B，A′E′∥BF2 ， A′E′=BF2时四边形A′E′F2B是菱形；3）当A′B=E′B，A′F3∥BE′，A′F3=BE′时四边形A′F3E′B是菱形；进行讨论即可求解．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．