Question

8．已知二次函数y=ax²+bx-3经过A（-1，0），B（3，0）两点，
（1）求二次函数解析式及对称轴方程；
（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大？若存在，求出点H坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解析式，利用对称轴公式求对称轴方程；
（2）利用求BC解析式求点E的坐标为（1，-2）；
（3）分别以△BCM的三边为腰画等腰三角形，与y轴有四个交点，分别求出M点的坐标即可；
（4）设H点坐标为（x，x²-2x-3），因为H在第四象限，可以取H的纵坐标的相反数为△OBH的高，利用面积和表示四边形ACHB的面积，利用二次函数的最值得结论．

解答 解：（1）将A，B两点坐标代入y=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-2，
所以二次函数解析式为y=x²-2x-3，
对称轴方程为：直线x=-$\frac{-2}{2×1}$=1；

（2）如图1，y=x²-2x-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把B（3，0）和C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴E（1，-2）；

（3）存在：
如图2，有四种情况：
①当BC=BM₁时，
∵x轴⊥y轴，
∴OM₁=OC=3，
∴M₁（0，3），
②当BC=CM₂时（M₂在点C的上方），
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CM₂=3$\sqrt{2}$，
∴OM₂=3$\sqrt{2}$-3，
∴M₂（0，3$\sqrt{2}$-3），
③当BC=CM₃时（M₃在C的下方），
∴OM₃=3$\sqrt{2}$+3，
∴M₃（0，-3-3$\sqrt{2}$），
④作BC的中垂线，交BC于E，交y轴于M₄，
cos∠M₄CB=$\frac{CE}{C{M}_{4}}=\frac{OC}{BC}$，
∴$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{C{M}_{4}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
CM₄=3，即M₄与原点O重合，
∴M₄（0，0），
综上所述，点M的坐标为：M₁（0，3），M₂（0，3$\sqrt{2}$-3），M₃（0，-3-$3\sqrt{2}$），M₄（0，0）；

（4）如图3，连接OH，设H点坐标为（x，x²-2x-3），
S_{四边形ACHB}=S_△AOC+S_△COH+S_△BOH，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$|x²-2x-3|，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$（-x²+2x+3），
=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+$\frac{9}{2}$x+6，
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{75}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，四边形ACHB的面积最大，
∴当x₀=$\frac{3}{2}$时，x₀²-2x₀-3=$-\frac{15}{4}$，
所以点H坐标为$（\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}）$．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质和判定、多边形面积的求法，采用了分类讨论的思想，属于常考题型，将四边形面积的最大值问题转化为二次函数的最值问题解决，也是数学中常用的解题思路，要熟练掌握．