Question

同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：
如图，A为⊙O的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA=DC．

（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．
①求证：DA=DC；
②当DF：EF=1：8，且DF=

2

时，求AB•AC的值．
（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA=DC是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

（1）①证明：连OC，则OC⊥DC，
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B，
又∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC，
②∵DF：EF=1：8，DF=

2

，
∴EF=8DF=8

2

，
又DC为切线，
∴DC²=DF•DE=

2

×9

2

=18，
∴DC=3

2

，
∴AD=DC=3

2

，
∴AF=AD-DF=2

2

，
∴AE=EF-AF=6

2

，
∴AB•AC=AE•AF=24；

（2）结论DA=DC仍然成立，理由如下：
延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB=90°，
又DC为⊙O的切线，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，
又∠BAH=90°-∠HBA，
而∠CBK=∠HBA，
∴∠DCA=∠BAH，
∴DA=DC．