Question

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

（1）如图，抛物线y=x²﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　 　，衍生直线的解析式是　 　；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设（1）中的抛物线y=x²﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²﹣2x﹣3过（0，﹣3），

∴设其衍生抛物线为y=ax²﹣3，

∵y=x²﹣2x﹣3=x²﹣2x+1﹣4=（x﹣1）²﹣4，

∴衍生抛物线为y=ax²﹣3过抛物线y=x²﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），

∴﹣4=a•1﹣3，

解得 a=﹣1，

∴衍生抛物线为y=﹣x²﹣3．

设衍生直线为y=kx+b，

∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），

∴，

∴，

∴衍生直线为y=﹣x﹣3．

（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，

∴将y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1联立，得，

解得  或 ，

∵衍生抛物线y=﹣2x²+1的顶点为（0，1），

∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．

设原抛物线为y=a（x﹣1）²﹣1，

∵y=a（x﹣1）²﹣1过（0，1），

∴1=a（0﹣1）²﹣1，

解得 a=2，

∴原抛物线为y=2x²﹣4x+1．

（3）∵N（0，﹣3），

∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，

∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．

设点P坐标为（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM²=（x_M﹣x_O）²+（y_O﹣y_M）²=1+16=17，

  OP²=（|x_P﹣x_O|）²+（y_O﹣y_P）²=x²+4，

  MP²=（|x_P﹣x_M|）²+（y_P﹣y_M）²=（x﹣1）²+4=x²﹣2x+5．

①当OM²=OP²+MP²时，有17=x²+4+x²﹣2x+5，

解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．

②当OP²=OM²+MP²时，有x²+4=17+x²﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③当MP²=OP²+OM²时，有x²﹣2x+5=x²+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．