Question

【题目】如图，四边形中， ，过点作的平行线，交于点，交于点．

（1）求证：是的中点．

（2）已知，是射线上的动点．设，

①若四边形的面积为，求关于的函数关系式；

②在①中，当为何值时，的周长最小，并求出此时的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②，．

【解析】

（1）根据平行线的性质求出，根据，推出，即可得出答案；
（2）①根据勾股定理求出AC，求出CF的长，得出四边形BCDP是梯形，根据梯形的面积公式得出即可；
②求出CP+BP最小时，△BCP的周长最小，根据对称得出当P到E时，△PBC的周长最小，证△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．

（1）证明：

，即是的中点

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：

∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面积y=（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周长是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周长最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A关于DF对称，
即当点P运动到点E时，CP+BP最小，此时△PBC的周长最小， 求得AE=BE=AB=cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴，
∴，

当时，的周长最小，此时．