Question

2．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ²=CP²-CQ²，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：当PC⊥AB时，PQ的长最短．
在直角△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
PC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．