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    1．如图，直线l1∥l2，直线l与l1、l2分别交于A、B两点，点M、N分别在l1、l2上，点M、N、P均在l的同侧（点P不在l1、l2上），若∠PAM=α，∠PBN=β．
    （1）当点P在l1与l2之间时．
    ①求∠APB的大小（用含α、β的代数式表示）；
    ②若∠APM的平分线与∠PBN的平分线交于点P1，∠P1AM的平分线与∠P1BN的平分线交于点P2，…，∠Pn-1AM的平分线与∠Pn-1BN的平分线交于点Pn，则∠AP1B=$\frac{α+β}{2}$，∠APnB=$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．（用含α、β的代数式表示，其中n为正整数）
    （2）当点P不在l1与l2之间时．
    若∠PAM的平分线与∠PBN的平分线交于点P，∠P1AM的平分线与∠P1BN的平分线交于点P2，…，∠Pn-1AM的平分线与∠Pn-1BN的平分线交于点Pn，请直接写出∠APnB的大小．（用含α、β的代数式表示，其中n为正整数）

    分析 （1）过点P作PQ∥l1交AB于Q，则∠APQ=∠MAP=α，由∠APQ=∠MAP=α①，∠QPB=∠PBN=β②，①+②即可解决问题．
    （2）利用（1）的结论即可解决问题．
    （3）分两种情形写出结论即可．

    解答 解：（1）过点P作PQ∥l1交AB于Q，则∠APQ=∠MAP=α      ①
    ∵l1∥l2，
    ∴PQ∥l2，
    ∴∠QPB=∠PBN=β     ②，
    ①+②得∠APQ+∠BPQ=∠MAP+∠PBN，
    ∴∠APB=α+β．
    （2）由（1）可知∠P1=$\frac{1}{2}$（α+β），∠p2=$\frac{1}{4}$（α+β），∠p3=$\frac{1}{8}$（α+β）…
    ∴∠APnB=$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．
    故答案分别为$\frac{α+β}{2}$，$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．
    （3）当P在l1上方时，β＞α，∠APnB=$\frac{β-α}{{2}^{n}}$．
    当点P在l2下方时，α＞β，∠ApnB=$\frac{α-β}{{2}^{n}}$．

    点评 本题考查平行线的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．

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    A．30°B．40°C．50°D．60°

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    （2）如图②，作△BCE，使∠BEC=∠BAC，CE=BE；
    （3）如图③，已知线段a，作△BCF，使∠BFC=∠A，BF+CF=a．

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