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    如图，已知抛物线y=（
    1
    2
    sin45°）x2-2x+n过原点O和x轴上另一点C，它的顶点为B，四边形AOBC是菱形，动点P、Q同时从O点出发，P沿折线OACB运动，Q沿折线OBCA运动．
    （1）求出点A、点B的坐标，并求出菱形AOBC的边长；
    （2）若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，点Q第一次运动到BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3
    		2
    时，求直线PQ的解析式；
    （3）若点P的运动速度是每秒2个单位长，点Q的运动速度是每秒3个单位长，运动到第一次相遇时停止．设△OPQ的面积为S，运动的时间为t，求这个运动过程中S与t之间的函数关系式，并写出当t为何值时，△OPQ的面积最大．
    分析：（1）先将原点（0，0）代入抛物线的解析式y=（
    1
    2
    sin45°）x2-2x+n中，求出n的值，再利用配方法写成顶点式，得到顶点B的坐标，然后根据菱形的性质，可知菱形AOBC的顶点A与顶点B关于x轴对称，从而求出点A的坐标，最后根据两点间的距离公式即可得到菱形AOBC的边长；
    （2）设点P的运动速度为每秒v个单位长，t秒后点Q运动到边BC上，则可用含vt的代数式分别表示AP，BQ，再证明△ARP∽△BRQ，根据相似三角形对应边成比例求出vt=
    8
    5
    ，从而得到点P和点Q的坐标，然后根据待定系数法即可求出直线PQ的解析式；
    （3）根据题意，首先求出点P与点Q相遇的时间为
    16
    5
    秒，得出此时点P与点Q在AC上相遇，再分四种情况进行讨论：①0≤t≤
    4
    3
    ；②
    4
    3
    ＜t≤2，③2＜t≤
    8
    3
    ，④
    8
    3
    ＜t≤
    16
    5
    ．针对每一种情况，都需先判断点P与点Q所在的位置，再根据面积公式求出S与t之间的函数关系式，然后根据函数的性质，求出最大值．
    解答：解：（1）∵抛物线y=（
    1
    2
    sin45°）x2-2x+n过原点O，
    ∴n=0，
    ∴抛物线的解析式为y=
    		2
    4
    x2-2x．
    ∵y=
    		2
    4
    x2-2x=
    		2
    4
    （x-2
    		2
    ）2-2
    		2
    ，且顶点为B，
    ∴点B的坐标为（2
    		2
    ，-2
    		2
    ），
    ∵四边形AOBC是菱形，
    ∴点A与点B关于x轴对称，
    ∴点A的坐标为（2
    		2
    ，2
    		2
    ），
    ∴菱形AOBC的边长=
    		(2
    		2
    )    2    +(2
    		2
    )    2
    =4；

    （2）在y=
    		2
    4
    x2-2x中，令y=0，得
    		2
    4
    x2-2x=0，
    解得x1=0，x2=4
    		2
    ，则C（4
    		2
    ，0）．
    ∵OC=AB=4
    		2
    ，
    ∴菱形AOBC是正方形，
    ∴∠AOC=∠ABC=45°．
    如图，设点P的运动速度为每秒v个单位长，t秒后点Q运动到边BC上．
    ∴OP=vt，OB+BQ=3vt，
    ∴AP=4-vt，BQ=3vt-4，
    ∵AR=3
    		2
    ，∴BR=
    		2
    ，
    ∵AP∥BQ，∴△ARP∽△BRQ，
    ∴
    AR
    BR
    =
    AP
    BQ
    ，∴
    4-vt
    3vt-4
    =
    3
    		2
    		2
    ，
    解得：vt=
    8
    5
    ，
    ∴OP=
    8
    5
    ，P（
    4
    		2
    5
    ，
    4
    		2
    5
    ），
    BQ=
    4
    5
    ，Q（
    12
    		2
    5
    ，-
    8
    		2
    5
    ）．
    设PQ的解析式为y=kx+b，由题意，
    得：
    4
    		2
    5
    k+b=
    4
    		2
    5
    12
    		2
    5
    k+b=-
    8
    		2
    5
    ，
    解得
    k=-
    3
    2
    b=2
    		2
    ，
    ∴PQ的解析式为：y=-
    3
    2
    x+2
    		2
    ；

    （3）∵点P的运动速度是每秒2个单位长，点Q的运动速度是每秒3个单位长，
    ∴点P与点Q相遇的时间为：
    16
    5
    秒，此时点P与点Q在AC上．
    分四种情况：
    ①当0≤t≤
    4
    3
    时，点Q在OB上，点P在OA上，如图．
    ∵OP=2t，OQ=3t，∠POQ=90°，
    ∴S=
    1
    2
    OP•OQ=
    1
    2
    ×2t×3t=3t2，
    ∵3＞0，抛物线开口向上，对称轴为t=0，
    ∴在对称轴的右侧，S随t的增大而增大，
    ∴当t=
    4
    3
    时，S有最大值，此时S=3×
    16
    9
    =
    16
    3
    ；
    ②当
    4
    3
    ＜t≤2时，点Q在BC上，点P在OA上，如图．
    ∵OP=2t，
    ∴S=
    1
    2
    OP•OB=
    1
    2
    ×2t×4=4t，
    ∵4＞0，
    ∴S随t的增大而增大，
    ∴当t=2时，S有最大值，此时S=4×2=8；
    ③当2＜t≤
    8
    3
    时，点Q在BC上，点P在AC上，如图．
    ∵OA+AP=2t，OB+BQ=3t，
    ∴AP=2t-4，BQ=3t-4，
    ∴PC=8-2t，CQ=8-3t，
    ∴S=S正方形OACB-S△OAP-S△OBQ-S△PCQ
    =16-
    1
    2
    ×4×（2t-4）-
    1
    2
    ×4×（3t-4）-
    1
    2
    ×（8-2t）×（8-3t）
    =-3t2+10t，
    ∵-3＜0，抛物线开口向下，对称轴为t=
    -10
    -6
    =
    5
    3
    ，
    ∴在对称轴的右侧，S随t的增大而减小，
    ∴当2＜t≤
    8
    3
    时，S无最大值；
    ④当
    8
    3
    ＜t≤
    16
    5
    时，点Q与点P都在AC上，如图．
    ∵OA+AP=2t，OB+BC+CQ=3t，
    ∴AP=2t-4，CQ=3t-8，
    ∴PQ=AC-AP-CQ=4-（2t-4）-（3t-8）=16-5t，
    ∴S=
    1
    2
    PQ•OA=
    1
    2
    ×（16-5t）×4=32-10t，
    ∵-10＜0，
    ∴S随t的增大而减小，
    ∴当
    8
    3
    ＜t≤
    16
    5
    时，S无最大值．
    综上可知，S与t之间的函数关系式为：S=
    3t2(0≤t≤
    4
    3
    )
    4t(
    4
    3
    ＜t≤2)
    -3t2+10t(2＜t≤
    8
    3
    )
    32-10t(
    8
    3
    ＜t≤
    16
    5
    )
    ，当t为2时，△OPQ的面积最大，最大值为8．
    点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，正方形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，函数最值的求法，综合性较强，难度较大，其中（3）能够根据点P与点Q的运动速度和方向，以及正方形的边长对t的值进行分类讨论是解题的关键和难点．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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