Question

14．已知如图：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，AE、BD相交于O，OF⊥BD，OH⊥AB．
（1）求证：∠BOE=45°；
（2）求证：BF+AD=AB；
（3）求证：$\frac{CF+CD}{OH}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠OAB+∠OBA=45°，再由三角形的外角性质得出即可得出结果；
（2）延长FO交AB于G，由ASA证明△OBF≌△BOG，得出BF=BG，证出∠2=∠1，由AAS证明△OAG≌△OAD，得出AG=AD，即可得出结论；
（3）作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形OMCN是矩形，证出∠MOF=∠NOD，由三角形的内心性质得出OM=ON=OH，得出四边形OMCN是正方形，因此CM=CN=OM，由ASA证明△MOF≌△NOD，得出MF=ND，因此CF+CD=CM+CN=2OH，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠OAB=∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°；
（2）证明：延长FO交AB于G，如图1所示：
∵OF⊥BD，
∴∠BOG=∠BOF=∠FOD=90°，
在△BOF和△BOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠BOG}&{\;}\\{OB=OB}&{\;}\\{∠OBF=∠OBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△BOG（ASA），
∴BF=BG，
∵OH⊥AB，
∴∠OBA+∠BGO=90°，
∵∠OBC+∠CDB=90°，
∴∠BGO=∠CDB，
∴∠2=∠1，
在△AOG和△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{∠OAB=∠OAC}&{\;}\\{OA=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAG≌△OAD（AAS），
∴AG=AD，
∴BF+AD=BG+AG=AB；
（3）证明：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，如图2所示：
则四边形OMCN是矩形，
∴∠MON=90°，
∴∠MOF=∠NOD，
∵O是角平分线AE和BD的交点，
∴OM=ON=OH，
∴四边形OMCN是正方形，
∴CM=CN=OM，
在△MOF和△NOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOF=∠NOD}&{\;}\\{OM=ON}&{\;}\\{∠OMF=∠OND=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOF≌△NOD（ASA），
∴MF=ND，
∴CF+CD=CM+CN=2OM=2OH，
∴$\frac{CF+CD}{OH}$=$\frac{2OH}{OH}$=2；
即$\frac{CF+CD}{OH}$为定值．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形的内心性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．