Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∠ABC的平分线交AC于E点．
（1）求

BC

AB

．
（2）求sin18°．

Answer 1

考点：黄金分割,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）利用等腰三角形的性质和角平分线的定义通过计算角度证明AE=BE=BC，再利用△ABC∽△BCE得到BC：CE=AC：BC，则AE：CE=AC：AE，于是根据黄金分割的定义得到点E为AC的黄金分割点，所以

AE

AC

=

5 -1

2

，于是有

BC

AB

=

5 -1

2

；
（2）作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得BH=CH，∠BAH=

1

2

∠BAC=18°，在Rt△ABH中，利用正弦的定义得sin∠BAH=sin18°=

BH

AB

=

1

2

•

BC

AB

，然后利用

BC

AB

=

5 -1

2

，可计算出sin18°的值．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴EA=EB，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC，
∵∠CBE=∠A=36°，∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BCE，
∴BC：CE=AC：BC，
∴AE：CE=AC：AE，
∴点E为AC的黄金分割点，
∴

AE

AC

=

5 -1

2

，
∴

BC

AB

=

5 -1

2

；
（2）作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH，AH平分∠BAC，
∴∠BAH=

1

2

∠BAC=18°，
在Rt△ABH中，sin∠BAH=sin18°=

BH

AB

=

1

2

•

BC

AB

，
而

BC

AB

=

5 -1

2

，
∴sin18°=

1

2

•

5 -1

2

=

5 -1

4

．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了正弦的定义．