Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由

 

变化为

 

；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm²）：
①当x=6s时，则y的值是

 

cm²；（直接写出答案，不必写出过程）
②求x为何值时，y=4cm²；（要求写出过程）
③当x=

 

s时，y=15cm²．（直接写出答案，不必写出过程）

Answer 1

分析：（1）根据图象移动可以得到结论；
（2）①过E作EH⊥AN于H，根据等腰直角三角形的性质求出AN、EH，根据三角形的面积公式即可求出答案；②AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，求出EH=

1

2

AN=

1

2

x，根据三角形的面积公式求出即可；③当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，AN=x（cm），由∠PNM=∠B=45°得出EN∥BC．得到平行四边形ENBC，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF，根据y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）•DF求出即可．

解答：解：（1）故答案为：等腰直角三角形，等腰梯形．

（2）解：等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
①AN=6，
过E作EH⊥AN于H，
∵∠EAN=∠ENA=45°，
∴EA=EN，∠AEN=90°，
∴EH=AH=HN=3，
∴y=

1

2

×6×3=9，
故答案为：9．

②解：当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）．
此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN=

1

2

x，
则y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，

1

4

x²=4，
解得x₁=4x₂=-4（不合题意，舍去），
∴x=4，
答：当x=4（s）时，y=4cm²．
③当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，此时AN=x（cm），
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC．
∵CE∥BN，
∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=（10-x）cm，DE=4-（10-x）=（x-6）cm．
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3．
y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）×DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9
∴3x-9=15，解得：x=8．
故答案为：8．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．