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如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(1,
3
),若把线段OA绕精英家教网点O逆时针旋转120°,可得线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)某二次函数的图象经过A、O、B三点,求该函数的解析式;
(3)在第(2)小题所求函数图象的对称轴上,是否存在点P,使△OAP的周长最小,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据点A的坐标易知∠AOx=60°,若将OA逆时针旋转120°,点A的对应点B则正好落在x轴负半轴上,易求得OA的长,即可得到OB的长,从而求出点B的坐标.
(2)已知了函数图象上三点的坐标,可利用待定系数法求得该抛物线的解析式.
(3)在△OAP中,OA的长是定值,若三角形的周长最小,那么AP+OP的值最小;由于O、B关于抛物线的对称轴对称,若连接AB,那么直线AB与抛物线对称轴的交点即为所求的点P,易求得直线AB的解析式,联立抛物线对称轴,即可求得点P的坐标.
解答:解:(1)作AC⊥x轴于C,
∵点A(1,
3
),即OC=1,AC=
3

∴∠AOC=60°,OA=2;(1分)
∴点B(-2,0).(2分)

(2)∵抛物线经过点O(0,0),
∴可设所求解析式为y=ax2+bx.
把点A、B的坐标代入上式,得:
a+b=
3
4a-2b=0
,(3分)
解得a=
3
3
,b=
2
3
3

∴所求解析式为y=
3
3
x2+
2
3
3
x.(4分)精英家教网

(3)存在,
∵点O和B关于抛物线y=
3
3
x2+
2
3
3
x的对称轴直线x=-1对称,
∴直线AB与直线x=-1的交点即为所求点P;(5分)
把点A(1,
3
)、B(-2,0)分别代入y=kx+b,
可求得直线AB的解析式为:y=
3
3
x+
2
3
3
,(6分)
令x=-1,得y=
3
3

∴点P(-1,
3
3
).(7分)
点评:此题主要考查了图形的旋转变化、直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径等知识,属于基础题,难度适中.
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18、如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①、②、③、④…,则三角形⑦的直角顶点的坐标为
(24,0)

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(1)在图中画出线段OP′;
(2)求P′的坐标和
PP′
的长度.

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如图,在直角坐标系中,O为原点.反比例函数y=
6
x
的图象经过第一象限的点A,点A的纵坐标是横坐标的
3
2
倍.
(1)求点A的坐标;
(2)如果经过点A的一次函数图象与x轴的负半轴交于点B,AC⊥x轴于点C,若△ABC的面积为9,求这个一次函数的解析式.
(3)点D在反比例函数y=
6
x
的图象上,且点D在直线AC的右侧,作DE⊥x轴于点E,当△ABC与△CDE相似时,求点D的坐标.

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(2)△A1B1C1,△A2B2C2与△ABC的面积比都是1:4.(作出图形,保留痕迹,标上相应字母)

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如图,在直角坐标系中,已知点A(-4,0),B(0,3),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面积是
6
6

(2)三角形(2013)的直角顶点的坐标是
(8052,0)
(8052,0)

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