Question

一个圆内接正三角形面积为16

3

cm²，求（1）这个圆的半径；（2）这个圆的外切正三角形面积？

Answer 1

分析：（1）利用三角形半径和边心距的关系，求出半径和边心距及三角形的高的比，根据比例设出边心距，再表示出三角形的高，即可列方程解答；（2）根据（1）的结论，结合直角三角形的性质求出AD的长，即可求出三角形的面积．

解答：解：（1）如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD=x，则AD=BD•tan60°=

3

BD=

3

x．
∵正三角形ABC面积为16

3

cm²，
∴

1

2

BC•AD=16

3

，
∴

1

2

×2x•

3

x=16

3

，
∴x=4．
即BD=4，则AD=4

3

，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=4

3

×

2

3

=

8 3

3

cm．
即这个圆的半径为

8 3

3

cm．

（2）如图（2），
∵OD=

8 3

3

，∠OAD=30°，
∴AD=OD÷tan30°=

8 3

3

÷

3

3

=8，
∴S_△ABC=6S_△AOD=6×

1

2

×

8 3

3

×8=64

3

cm²．

点评：此题考查了圆的内接三角形和外切三角形，根据正三角形的性质和三角函数，求出半径和边心距的长是解题的关键．