Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：

BD

BE

=

CD

BC

；
（3）若BC=

3

2

AB，求tan∠CDF的值．

Answer 1

（1）∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴

BD

BE

=

CD

BC

，

（3）∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=

3

2

AB，
∴

BC

AB

=

3

2

，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=

10

x，
∴CD=（

10

-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴

CD

BC

=

DF

BD

=

( 10 -1)x

3x

=

10 -1

3

，
∵tan∠DBF=

DF

BD

=

10 -1

3

，
∴tan∠CDF=

10 -1

3

．