Question

9．根据条件求二次函数的解析式．
（1）抛物线过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点；
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，-2）

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把（1，-5）代入求出a的值即可；
（2）利用抛物线的顶点坐标得到抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把顶点坐标代入求出a的值即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，-5）代入得a•2•（-2）=-5，解得a=$\frac{5}{4}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{5}{4}$（x+1）（x-3），
即y=$\frac{5}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{4}$；
（2）根据题意得抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
把（3，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-5），
即y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．