Question

已知直线y=kx-4（k＞0）与x轴、y轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线开口向上，且与x轴交于一点B．
（I）写出A、C两点坐标（可用k表示）；
（II）若AO=3BO，点B到直线AC的距离等于

16

5

，求直线及抛物线的解析式；
（III）是否存在点A、点B使tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截y轴所得弦长等于5，若存在，求过点A、B、C的抛物线解析式，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（ I）根据一次函数与坐标轴的交点求法即可得出A，C的坐标；
（ II）假设出A，B两点的坐标，得出AB，AC的长度，再利用AB•OC=AC•BD，得出A，B坐标，即可求出直线与抛物线的解析式；
（ III）利用解直角三角形的性质得出△OBC∽△ODA，进而求出A，B两点的坐标，即可得出二次函数的解析式．

解答：解：（ I）∵直线y=kx-4与x轴、y轴交于A、C两点，
∴y=0，x=

4

k

，
x=0，y=-4，
∴A(

4

k

，0)，C（0，-4）（2分）；

（ II）设A（3α，0），B（-α，0），
在△ABC中，AB•OC=AC•BD，
∴4α•4=

9α2+16

•

16

5

，
∴α=1，
∴A（3，0）B（-1，0），
将A（3，0）代入y=kx-4，得k=

4

3

，
∴y=

4

3

x-4（4分），
设抛物线解析式为y=m（x-3）（x+1），
，将C（0，-4）代入，得m=

4

3

，
∴y=

4

3

x2-

8

3

x-4（6分）；

（ III）存在（7分），
如图，设△ABC外接圆圆心为M，作MG⊥x轴，交AB于点E，交圆M于点G，MF⊥y轴于点F
则CO=4，CF=2.5，
∴FO=1.5，
∵MG⊥AB，
∴

AG

=

BG

，∠AME=∠ACB，
Rt△AME中，tan∠AME=2ME=OF，
∴AE=3AB=6，
∵∠CBO=∠ADO，∠BOC=∠DOA，
由△OBC∽△ODA，
得

OB

OC

=

OD

DA

，
∴OB•OA=OD•OC，
设OB=x，则OA=6-x，
∴x(6-x)=4∴x=3±

5

，
∴A(3±

5

，0)B(-3±

5

，0)（9分），
设所求抛物线解析式为y=a(x-3±

5

)(x-

5

±3)，
将C（0，-4）代入，得a=1，
∴y=x2±2

5

x-4（10分）．

点评：此题主要考查了二次函数以一次函数的综合题目，主要利用数形结合进行求解，利用三角形的相似得出A，B，两点的坐标是解决问题的关键．