已知:如图.点M.N分别在正△ABC(AB=BC=CA.且∠BAC=∠ABC=∠C=60°)的BC.CA边上.且BM=CN.AM.BN交于点Q．(1)求证:∠BQM=60°．请你完成这道思考题:后.同学们在老师的启发下进行了反思.提出了许多问题.如:①若将题中“BM=CN 与“∠BQM=60° 的位置交换.得到的是否仍是真命题?②若将题中的点M.N分别移动到BC.CA的延长线上.是否仍� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．已知：如图，点M，N分别在正△ABC（AB=BC=CA，且∠BAC=∠ABC=∠C=60°）的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．

（1）求证：∠BQM=60°．
请你完成这道思考题：
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD（AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°）的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①真命题；②能；③不能．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

分析（1）先根据SAS定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠BAM=∠CBN，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论；
（2）①根据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论；
②同①可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论；
③由SAS证明△ABM≌△CBN，得出对应角相等∠BAM=∠CBN，再由直角三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．

解答（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABC=∠C}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；
（2）解：①仍为真命题；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠BAM+∠ABN=60°，
∵∠ABN+∠CBN=60°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABC=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②解：能得到∠BQM=60°；理由如下：
如图2所示，同①可证△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°．
③不能得到∠BQM=60°，∠BQM=90°，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABM=∠BCN=90°}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBN+∠AMB=90°，
∴∠BQM=90°；
故答案为：真命题，能，不能．

点评本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．

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