Question

如图，菱形ABCD中，AB=10，sinA=

4

5

，点E在AB上，AE=4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发以1个单位/s的速度沿着线段AB向终点B运动，同时点Q从点E出发也以1个单位/s的速度沿着线段EF向终点F运动，设运动时间为t（s）．
（1）填空：当t=5时，PQ=

2

5

；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比；
（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点P作PM⊥EF，垂足为M，利用锐角三角函数求得PM的长，然后利用勾股定理求得EM的长，再利用勾股定理求得PQ的长即可；
（2）根据题意画出图象，结合图形和已知条件证得△EPQ∽△FMQ，进而求得MC的长，然后求得菱形的周长被分成两部分，并据此求得两部分的比值；
（3）过P作PH⊥AD于H，并利用勾股定理PQ²=(

4

5

t)2+(4-

2

5

t)2后求得t的值即可．

解答：解：（1）根据题意画出图形，如图所示：

过点P作PM⊥EF，垂足为M，
由题意可知AE=4，AP=EQ=5，则EP=1，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=

4

5

，
即

PM

EP

=

4

5

，则PM=

4

5

，
根据勾股定理得：EM=

3

5

，
则MQ=5-

3

5

=

22

5

，
在直角三角形PQM中，根据勾股定理得：
PQ=

( 4 5 )2+( 22 5 )2

=2

5

；

（2）根据题意画出图形，如图所示：

∵BQ平分∠ABC，
∴∠EBQ=∠CBQ，
又∵BC∥EF，
∴∠CBQ=∠EQB，
∴∠EBQ=∠EQB，
∴EB=EQ=10-4=6，
则t=6，AP=6，
∴BP=4，QF=4，
设PQ交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，
∴△EPQ∽△FMQ，
∴

EP

FM

=

EQ

QF

，即

2

FM

=

6

4

，
∴FM=

4

3

，
则MD=4-

4

3

=

8

3

，MC=

22

3

，
则直线PM分菱形分成的两部分的周长分别为AP+AD+MD和PB+BC+CM，
即菱形的周长被分为

56

3

和

64

3

，
所以这两部分的比为7：8；

（3）过P作PH⊥AD于H，交EF于G点，
则PH=

4

5

t，PE=t-4，PG=

4

5

（t-4），EG=

3

5

（t-4），
∴GQ=t-EG=

2

5

t+

12

5

，
PQ²=PG²+GQ²=（

4

5

t-

16

5

）²+（

2

5

t+

12

5

）²，
由题意可得方程(

4

5

t)2=（

4

5

t-

16

5

）²+（

2

5

t+

12

5

）²，
解得：t=10．

点评：本题考查了菱形的性质、切线的判定及性质及解直角三角形的知识，解题的关键是正确地作出图形．