Question

如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=

1

2

．
（1）求k的值；
（2）设点N（1，a）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题

分析：（1）对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，由N与N₁关于y轴的对称，根据N坐标求出N₁坐标，设直线MN₁的解析式为y=kx+b，把M，N₁的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标．

解答：解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，
∵tan∠AHO=

OA

OH

=

1

2

，
∴OH=2，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为2，
∵点M在直线y=x+1上，
∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），
∵点M在y=

k

x

上，
∴k=2×3=6；
（2）∵点N（1，a）在反比例函数y=

6

x

的图象上，
∴a=6，即点N的坐标为（1，6），
过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P（如图），
此时PM+PN最小，
∵N与N₁关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），
∴N₁的坐标为（-1，6），
设直线MN₁的解析式为y=kx+b，
把M，N₁的坐标得

6=-k+b 3=2k+b

，
解得：

k=-1 b=5

，
∴直线MN₁的解析式为y=-x+5，
令x=0，得y=5，
∴P点坐标为（0，5）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．